Виды задач, решаемых методом координат

AD2=; BC2=; DC2=; AB2=;

AC2=; BD2=; LP2=.

Запишем выражение, которое необходимо доказать, используя найденные нами значения.

AD2+BC2+DC2+AB2=AC2+BD2+4LP2

+++=++4

Раскроем скобки, приведем подобные и получим верное равенство 0=0. Значит, сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей.

Пример 3. Диаметры AB и CD окружности перпендикулярны. Хорда ЕА пересекает диаметр СD в точке К, хорда ЕС пересекает диаметр АВ в точке L. Докажите, что если СК:KD так же как 2:1, то AL:LB так же как 3:1.

Решение: Введем прямоугольную систему координат, направив оси по данным диаметрам AB и CD (рис. 13).

Радиус окружности будем считать равным 1. Тогда точки А, В, С, D будут иметь координаты (-1,0), (1,0), (0,-1), (0,1) соответственно. Так как СК:KD=2:1, то точка К имеет координаты (0,). Найдем координаты точки Е как точки пересечения прямой АК, имеющей уравнение и окружности, заданной уравнением . Получаем, что точка Е имеет координаты (). Точка L – это точка пересечения прямых СЕ и оси абсцисс, значит ординаты точки L равна 0.

Найдем абсциссу точки L. Прямая СЕ задана уравнением . Она пересекает ось Ох в точке (,0). Отсюда координаты точки L(,0). Найдем отношение AL:LB. Оно равно трем, что и требовалось доказать.

Задачи

Доказать, что если в треугольнике две медианы конгруэнтны, то треугольник равнобедренный.

Найти множество таких точек Р, что отношение расстояний от каждой из них до двух данных точек равно а.

Докажите, что уравнение окружности с центром в точке С (а,с) и радиусом r имеет вид: (х-а)2+(у-с)2=r2

Найти угол между прямыми Зх-4у+6=0 и 12х+5у+8=0

Определите расстояние от точки А(-3,4) до прямой у=х+2.

Вычислите площадь треугольника, вершины которого имеют следующие координаты: А (0,-2), В(6,2) и С(2,4) .

На прямой с даны три точки А, В, С так, что точка В лежит между точками А и С. В одной полуплоскости с границей а построены равносторонние треугольники АМВ и ВРС. Доказать, что середина отрезка РА, середина отрезка МС и точка В являются вершинами равностороннего треугольника.

Доказать, что для любой точки Р лежащей между вершинами В и треугольника ABC, справедливо равенство :